燃烧—四个基础方程

波塞冬的信徒

燃烧本质还是化学反应，”三传一反“还是要遵守，传热，传动，传质，反应。


温度梯度，传递热量；速度梯度，传递动量，传递质量；浓度梯度，传递组分物质。
对应有能量守恒方程（能量微分方程），动量守恒方程（运动微分方程），质量守恒方程（连续性微分方程），组分守恒方程（扩散微分方程），
都是偏微分方程。

先说质量守恒（连续性微分方程）。
这部分是流体力学的内容。

常规推导过程，切一个正方体流体微元，边长dx，dy，dz，中心质量流速矢量列阵[ρ*u]^T=[ρ*ux ρ*uy ρ*uz]^T，速度变，密度也变，都是变量，参数(x,y,z,t)；

基础操作，泰勒展开式，与坐标轴方向相反，自变量变化量取负值（-dx/-dy/-dz ），与坐标轴方向相同，自变量变化量取负值（dx/dy/dz ），写出各个表面速度；

一边进一边出，时间dt内，微元体内部质量变化
dm1=
[ə(ρ*ux)/əx*dt]*dx*dy*dz+
[ə(ρ*uy)/əy*dt]*dx*dy*dz+
[ə(ρ*uz)/əz*dt]*dx*dy*dz

同时，密度随时间变化导致质量变化，dm2=[əρ/ət*dt]*dx*dy*dz

稳态稳流，变化和dm=0，得到连续性方程，əρ/ət+[▽]·[ρ*u]^T=0。
▽·(ρ*u)，哈密顿算子矢量，质量流速也是矢量，俩矢量点乘，写成坐标式，就是行阵乘列阵。

哈密顿算子作用一下，就是变化量。

说点题外话，有旋。
https://baike.baidu.com/item/%E6%97%8B%E5%BA%A6/8106439
如果是有旋运动，旋度ROT=▽×u，两个矢量叉乘，就是行列式乘法，然后按方向展开；
角速度ρ*Ω=1/2*▽×(ρ*u)，守恒方程中的速度表达式替换一下。

https://baike.baidu.com/item/%E9 ... 18885855?fr=aladdin

回顾一下高斯公式，就会有新的理解。
假如是不可压缩流体，P=ux，Q=uy，R=uz，高斯公式左边积分元素，是散度Div，空间体积分后是通量J，高斯公式右边积分，是围成空间体的曲面形成的环量Γ。

密度ρ是常量，省略了。
算来算去，就是散度Div=0，就说明一个道理。
对于稳态过程，通过围成空间体的各个曲面流进流出，环量Γ没有变化，就是通量J没有变化，而空间体内，无源项，无汇项，就是没有核反应，也没有没有跨时空吞噬一切的黑洞，那么就是通量的积分元素—散度Div为零。

有旋的散度Div Ω=0，也就那么回事。

可压缩的流体，考虑质量流速，考虑密度变化，也能做一下类比。


未完，待续。

波塞冬的信徒

第二个就是动量守恒，运动微分方程，有点复杂的N-S方程。
https://baike.baidu.com/item/%E6 ... 10876860?fr=aladdin

理想流体，不考虑粘滞作用，不具有普遍性，直接看粘性流体，就是一般流体。
看网页的图片，依然是切出来一个边长dx，dy, dz的一个小正方体。

考虑粘性，就有牛爵爷的内摩擦定律，各个表面除了正应力，还有切应力。
写一下应力张量[τ]=
τxx  τxy  τxz
τyx  τyy  τyz
τzx  τzy  τzz
矩阵的括号，不方便写，就不写了。

多说几句应力张量，弹性力学的东西。
第一行的应力都垂直于X轴，对应面积dAx=dy*dz;
第二行的应力都垂直于Y轴，对应面积dAy=dx*dz;
第三行的应力都垂直于Z轴，对应面积dAz=dx*dy;

第一列的应力，都沿X轴；
第二列的应力，都沿Y轴；
第三列的应力，都沿Z轴；

所以，如果想要求总力的列阵[F]=[Fx  Fy  Fz]^T，知道应力张量[τ]，还知道面积列阵[dA]=[dAx  dAy  dAz]^T
[F]=[τ]*[dA]
这里就能理解矩阵列乘的意义。

一切起始，都是牛顿，当了爵士的，喊牛爵爷好了。
冲量=动量，两边对时间求导，牛爵爷的第二定律就出现了，F=m*a。
F包含体力X，Y, Z，不特别，就是作用在质心，单位质量上的力，乘以总质量就是总力。

看X方向的平衡。
先说受力
质量ρ*dx*dy*dz，总体力ρ*dx*dy*dz*X；

总面力，自然考虑第一列了，矩阵列乘。
τxx*dy*dz
τyx*dx*dz
τzx*dx*dy
由于x方向上的位置变化，出现了变化，就是泰勒展开式的差值，就是哈密顿算子作用，直接写了。
ə(τxx)/əx*dx*dy*dz
ə(τyx)/əx*dx*dy*dz
ə(τzx)/əx*dx*dy*dz

牛二律大成了，总体力+总面力=质量*加速度。
ρ*dx*dy*dz*X+ə(τxx)/əx*dx*dy*dz+ə(τyx)/əx*dx*dy*dz+ə(τzx)/əx*dx*dy*dz=ρ*dx*dy*dz*dux/dt

约去公因子dx*dy*dz,
ρ*X+ə(τxx)/əx+ə(τyx)/əx+ə(τzx)/əx=ρ*dux/dt
哈密顿算子就是求差值，就是快。

写出Y方向，对应于应力张量第二列，Z方向，对应于应力张量第三列，汇总一下。
ρ*X+ə(τxx)/əx+ə(τyx)/əx+ə(τzx)/əx=ρ*dux/dt
ρ*Y+ə(τxy)/əy+ə(τyy)/əy+ə(τzy)/əy=ρ*duy/dt
ρ*Z+ə(τxz)/əx+ə(τyz)/əx+ə(τzz)/əx=ρ*duz/dt

加速度，没啥好说的，就是u(x,y,z,t)中的x,y,z都是时间t的函数，求偏导别忘了链式法则。

处理正应力，看斯托克斯，处理切应力，还得看牛爵爷。

未完，待续。

米兰的小铁匠

偏微分方程的求解挺复杂的，波方程能进一步推导成常微分方程解析法求解，雷诺方程只能数值解或近似解析解，不清楚热方程需要怎么解